: Mathematics: transformée de Stieltjes

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transformée de Stieltjes

En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure à densité $ρ$ sur un intervalle $I$ est une fonction de la variable complexe z, définie à l'extérieur de cet intervalle par la formule :

${\\displaystyle S_{\ ho }\\left(z\ ight)=\\int _{I}{\ rac {\ ho \\left(t\ ight)}{z-t}}\\,\\mathrm {d} t.}$
Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densité $ρ$ est continue sur $I$ , on aura à l'intérieur de cet intervalle :
${\\displaystyle \ ho \\left(x\ ight)=\\lim _{\\varepsilon \ o 0^{+}}\\,{\ rac {S_{\ ho }\\left(x-{\ m {i}}\\varepsilon \ ight)-S_{\ ho }\\left(x+{\ m {i}}\\varepsilon \ ight)}{2{\ m {i}}\\pi }}.}$

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-CL3SVR3H-P

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