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Mathématiques (thésaurus)

algèbre > algèbre linéaire > matrice > matrice carrée > matrice hermitienne

Preferred term

matrice hermitienne

Dans une base orthonormale, notons A la matrice d'un endomorphisme u et notons :
${\\displaystyle A^{*}=({\ar {A}})^{\\mathsf {T}}}$
la matrice transconjuguée (la matrice transposée de la matrice conjuguée, ou matrice adjointe) de A. Il y a équivalence entre :
- u est un opérateur hermitien
- Pour tous vecteurs colonnes x et y de taille n, le nombre x*A*y est égal à x*Ay.
- Pour tout vecteur colonne x, le nombre x*Ax est réel (d'après la caractérisation des formes hermitiennes).
- A = A*. On dit dans ce cas que la matrice est hermitienne (ou auto-adjointe).
Les éléments d'une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) vérifient donc : ${\\displaystyle (a_{i,j})=({\\overline {a_{j,i}}})}$ ${\\displaystyle (a_{i,j})=({\\overline {a_{j,i}}})}$ . Toute matrice hermitienne A est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage unitaire, ses valeurs propres sont réelles et ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. Autrement dit, il existe une matrice unitaire U (dont les colonnes sont les vecteurs propres de A), et une matrice diagonale D (dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de A), telles que :
${\\displaystyle A=UDU^{*}}$
(C'est un cas particulier du théorème de décomposition de Schur.)
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Hermitien#Op%C3%A9rateur_hermitien_et_matrice_hermitienne)

matrice carrée

théorème de Schur-Horn

matrice auto-adjointe

Hermitian matrix

English
self-adjoint matrix

URI

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-CTNM46CQ-V

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