: Mathematics: fonctionnelle de Minkowski

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fonctionnelle de Minkowski

En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie $C$ d'un ℝ-espace vectoriel $E$ on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski $p C$ , qui est une application de $E$ dans $[0, +\infty]$ mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater $C$ pour englober ce vecteur. Dès que $C$ contient l'origine, $p C$ est positivement homogène ; si $C$ est étoilée par rapport à $0$ , $p C$ possède d'autres propriétés élémentaires. Si $C$ est convexe — cas le plus souvent étudié — $p C$ est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, $p C$ est une semi-norme dont $C$ est la boule unité.
Cette notion intervient en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge, optimisation conique), en apprentissage automatique, en géométrie des nombres (second théorème de Minkowski), etc.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctionnelle_de_Minkowski)

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-SVQC69PF-C

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