: Mathematics: équation aux dérivées partielles hyperbolique

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équation aux dérivées partielles hyperbolique

En mathématiques, un problème hyperbolique ou équation aux dérivées partielles hyperbolique est une classe d'équations aux dérivées partielles (EDP) modélisant des phénomènes de propagation, émergeant par exemple naturellement en mécanique. Un archétype d'équation aux dérivées partielles hyperbolique est l'équation des ondes :
${\\displaystyle {\ rac {\\partial ^{2}u}{\\partial t^{2}}}-c^{2}\\Delta u=0.\\,}$
Les solutions des problèmes hyperboliques possèdent des propriétés ondulatoires. Si une perturbation localisée est faite sur la donnée initiale d'un problème hyperbolique, alors les points de l'espace éloignés du support de la perturbation ne ressentiront pas ses effets immédiatement. Relativement à un point espace-temps fixe, les perturbations ont une vitesse de propagation finie et se déplacent le long des caractéristiques de l'équation. Cette propriété permet de distinguer les problèmes hyperboliques des problèmes elliptiques ou paraboliques, où les perturbations des conditions initiales (ou de bord) auront des effets instantanés sur tous les points du domaine. Bien que la définition de l'hyperbolicité soit fondamentalement qualitative, il existe des critères précis qui dépendent de la famille d'équations aux dérivées partielles considérées.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles_hyperbolique)

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