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Mathématiques (thésaurus)

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lemme de Farkas

Le lemme de Farkas est un résultat d'analyse convexe (une branche des mathématiques) qui s'exprime et s'interprète de multiples manières. Sous une forme assez générale, il donne une expression duale de l'adhérence de l'image d'un cône convexe ${\\displaystyle K}$ par une application linéaire ${\\displaystyle A}$ :

${\\displaystyle {\\overline {A(K)}}=[{A^{*}}^{-1}(K^{*})]^{*},}$

où ${\\displaystyle A^{*}}$ est l'adjointe de ${\\displaystyle A}$ et ${\\displaystyle P^{*}}$ désigne le cône dual d'une partie ${\\displaystyle P}$ .
Lorsque ${\\displaystyle A(K)}$ est fermé, on obtient ainsi des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système d'équations linéaires (ou affines) ait une solution dans ${\\displaystyle K}$ . Sous la forme ci-dessus, le lemme de Farkas généralise la relation d'algèbre linéaire reliant l'image d'une application linéaire ${\\displaystyle A}$ entre deux espaces euclidiens et le noyau de ${\\displaystyle A^{*}}$ , à savoir

${\\displaystyle \\operatorname {Im} {(A)}={\\operatorname {Ker} {(A^{*})}}^{\\perp }.}$
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Farkas)

Farkas' lemma

anglais

URI

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-VH4F4166-V

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RDF/XML TURTLE JSON-LD Date de création 16/08/2023, dernière modification le 16/08/2023